Giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11: - soanbaitap.com

Giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11:

Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11 thuộc Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);

b) \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Phương pháp giải chi tiết

a) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\).  (1)

Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\)

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (AOH) \Rightarrow BC  ⊥ AH\). Chứng minh tương tự ta được \(AB ⊥ CH \)

\(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b) Trong mặt phẳng \((ABC)\) gọi \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\); tức là \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\).

\(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OE \Rightarrow OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\).

Do đó: \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OE^{2}} =\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\)

Các kiến thức áp dụng giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11

a) Chứng minh \(AB \bot CH;\,\,BC \bot AH\).

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11 được đăng ở chuyên mục Giải Toán 11 và biên soạn theo phần Toán hình 11 thuộc SKG Toán lớp 11. Bài giải toán lớp 11 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn

#soanbaitap
Nguồn : Giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11: - soanbaitap.com