Giải bài 8 trang 98 SGK Hình học 11: - soanbaitap.com

Giải bài 8 trang 98 SGK Hình học 11:

Bài 8 trang 98 SGK Hình học 11 thuộc Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:

a) \(AB ⊥ CD\);

b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).

Phương pháp giải chi tiết

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0\)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})\)

\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)

\(={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)\)

\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow  AB ⊥ MN\).

Chứng minh tương tự ta được: \(CD ⊥ MN\).

Giải bài 8 trang 98 SGK Hình học 11 được đăng ở chuyên mục Giải Toán 11 và biên soạn theo phần Toán hình 11 thuộc SKG Toán lớp 11. Bài giải toán lớp 11 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn

#soanbaitap
Nguồn : Giải bài 8 trang 98 SGK Hình học 11: - soanbaitap.com